Interpolation bilinéaire

L'interpolation bilinéaire est une méthode se basant sur des polynômes d'ordre 1. Elle consiste à attribuer à chaque point cible une combinaison linéaire des quatre points sources les plus proches de son antécédent par la transformation inverse. 


En mathématique, l'interpolation bilinéaire est une extension de l'interpolation linéaire pour les fonctions d'interpolation de 2 variables sur une grille régulière. L'idée de base est de faire l'interpolation dans une direction puis la refaire dans l'autre.

La mise en oeuvre est bien entendue un peu plus lourde que pour le plus proche voisin, mais il ne se crée plus de paliers lors du sur-échantillonnage. Le passage d'un niveau à un autre est dans ce cas linéaire, mais les discontinuités d'ordre 1 (gradient) sont conservées sous la forme d'arêtes. En contrepartie, des niveaux intermédiaires sont ajoutés dans la dynamique. Néanmoins, dans le cas du sous-échantillonnage, la prise en compte des quatre voisins rend la méthode moins sensible au bruit qu'avec le plus proche voisin. 

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Spline en Plaque Mince (Thin Plate Spline)

La méthode de Spline en Plaque Mince (SPM) est une méthode d'interpolation qui cherche une surface lissée la moins déformée possible passant par tous les points du set d'échantillons. Une SPM avec 3 points est une surface plane, avec plus de trois points on obtient une surface courbée et moins de 3 n'existe pas. Le nom "Plaque Mince" vient du fait que SPM simule plus ou moins la façon dont une plaque de métal fine se comporterait si elle passait par tous les points de contrôle.

L'interpolation SPM est particulièrement utilisée pour représenter la transformation de formes comme le morphing d'image ou la détection/ressemblance de formes. Elle est utilisée dans le cas de semis de points irrégulièrement espacés.

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Plus proches Voisins

La méthode du plus proche voisin consiste à attribuer à chaque point cible une combinaison des valeurs des points sources les plus proches de son antécédent par la transformation inverse. C'est une interpolation polynomiale d'ordre 0.

La différence entre cette méthode et IDW est la méthode utilisée pour calculer les poids et la méthode de sélection des sets de points utilisés pour l'interpolation. L'interpolation par Plus Proches Voisins est basée sur un réseau de polygones de Voronoï.

Cette méthode conserve la dynamique du champs original et ne créé pas de niveaux intermédiaires. En revanche, elle détermine une zone d'influence exclusive pour chaque point source. Dans le cas du sous-échantillonnage, cela se traduit par une sensibilité accrue au bruit. Pour le sur-échantillonnage, la sensation de discontinuité est accentuée par la formation de larges paliers. 

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Méthode globale

Définition

Méthode de calcul de régression par une fonction unique décrivant la surface analysée englobant tous les points de l'espace analysé (région) en une surface de type spline (lissée). Elle requiert plus de calculs que les méthodes locales, et de la puissance matérielle de façon croissante avec la surface.

Intérêt

Elle permet de faire ressortir des grandes tendances en gommant les faibles irrégularités.

Exemples

• Regression model (x,y)
• Trend Surface analysis (x,y + attributs)

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Méthode locale

Définition

Ces méthodes sont de type fenêtre mobile qui va analyser des sets de points géographiquement les plus proches tour à tour. Elle permettent de faire ressortir des irrégularités localisées telles que des "pics" et des "creux".

Besoins

• Définition d'un rayon de recherche ou d'un secteur autour du point échantillonné pour lequel on doit prédire des valeurs
• Points d'échantillonnage inclus dans ce secteur
• Fonction mathématique résumant la manière dont les valeurs mesurées varient pour ces quelques points retenus
• Evaluation de cette variation pour le calcul d'un point situé sur une grille régulière

Exemples

• Lissage par splines en plaque mince
• Fenêtre mobiles
• Kriging

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Surface de Tendances Polynomiales (Polynomial Trend Surface)

Principe

Cette méthode correspond à une volonté de modéliser un phénomène sur une grande étendue. Elle est plutôt utilisée par les géologues. Elle utilise la combinaison linéaire de fonctions de bases. Il s’agit d’appréhender le phénomène par l’utilisation d’un polynôme dont le degré est laissé à l’estimation du thématicien : linéaire, quadratique, cubique.

Problèmes potentiels du modèle

Les problème se rencontrent  plutôt avec les modèles d'ordre élevés :

• Lissage trop important
• Les surfaces deviennent instables sur les bords
• Problèmes avec certains systèmes de coordonnées (ex : UTM)

Cette méthode s’intéresse peu aux changements locaux, aux irrégularités, mais seulement à la tendance. Le choix du degré fixe la complexité de l’interpolation dans la pratique on utilise des degrés de 3 à 5.

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Krigeage (Kriging)

Le Krigeage, ou Kriging en anglais, est une méthode d'interpolation de type spline, mais qui comporte des outils de décision quant aux paramètres utilisés.

Affirmation objective mathématique et réalité subjective

Le Krigeage met en jeu différents aspects pour modéliser un phénomène physique. L'un d'eux est le lien entre réalité modélisé, qui peut être évaluée de façon subjective (jugement de l'analyste) et la réalité mathématique, qui est évaluée avec des méthodes mathématiques précises. Le piège dans lequel ne doit pas tomber l'analyste est celui de privilégier l'un de ces aspects plutôt que l'autre. Un bon modèle ne représente pas forcément bien la réalité, malgré sa justesse mathématique. De la même façon, l'analyste doit connaître la réalité pour apprécier les limites de la méthode utilisée, notamment avec le Krigeage où il existe de nombreuses méthodes statistiques pour "résoudre" la modélisation de façon satisfaisante.

Dans le cadre de la méthode géostatistique du krigeage, la prise en compte des caractéristiques spatiales naturelles de la donnée se fait à l’aide d’une analyse variographique encore dénommée analyse structurale. Cette analyse est fondamentale pour le choix du modèle d’interpolation à appliquer aux données expérimentales. L’analyse variographique permet de quantifier la variabilité spatiale de la variable interpolée à partir des valeurs observées et en fonction de la distance qui les sépare.

Le variogramme illustre ainsi la continuité ou corrélation spatiale du phénomène étudié si on l’inverse graphiquement pour obtenir une fonction décroissante (covariance). En pratique, plus la distance entre deux sites de mesure est grande et moins les mesures sont corrélées

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Inverse Distance Weighting (Pondération Inverse à la Distance)

IDW, ou Inverse Distance Weigthing, en français traduit de différentes façon : soit "Inverse de la distance pondérée" ou "Méthode de distances inverses" selon les sources. Ma version de traduction serait plutôt Interpolation par la "Pondération Inverse à la Distance".

C'est une méthode d'interpolation déterministe. Elle s'appuie sur la Loi de Tobler, dite Première loi de géographie : "Tout est lié à tout le reste, mais les choses plus proches ont plus d'influence que les choses distantes" ("Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things")

Il faut bien comprendre comment fonctionne IDW avant de l'utiliser. Si le rayon de recherche est trop faible, au lieu d'avoir des reliefs continus, on se retrouve avec des pics isolés, l'algorithme ne trouvant pas le point suivant pour "s'accrocher" et relever le relief entre ces points. Et même si le rayon est satisfaisant, on pourra avoir le long des crêtes un effet de gondole car la valeur ne restera pas stable et va "retomber" entre les deux vers la moyenne altimétrique du semis de points.

Pour bien se représenter le fonctionnement de cet algorithme, il faut s'imaginer une toile de tissu posée sur des pics, représentant les points et leur valeurs. Lorsque l'on tend la toile (paramètre "puissance"), la toile se tend et les points ont plus d'influence sur leurs voisins. Si la toile n'est pas assez tendue ou si le paramètre de distance et de recherche de point et mal défini, on se retrouve avec un effet chair de poule qui ne correspond pas à la réalité.

Pire, dans le cas de données irrégulières, on peut même obtenir un effet inverse entre les pics et les creux :

En rouge, l'interpolation, en sombre, le Terrain Naturel.

On voit clairement l'effet d'inversion au niveau du pic, effet qui sera moins présent avec une interpolation qui analyse les tendances (ex : spline). De plus, on remarque que le terrain interpolé tend vers la moyenne altimétrique du semis de points (ligne grise).

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Quelques qualités d'un jeu de données spatiales

• Les points utilisés doivent être suffisamment nombreux, un set de 50 points est un minimum.
• Le set doit être représentatif de sa couverture géographique et des éléments environnementaux.
• Le set doit être constitué de manière objective et indépendant de facteurs extérieurs lors de l'échantillonnage.

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Les types d'interpolation spatiales

Je vais essayer de reprendre et simplifier dans les billets à venir quelques types d'interpolations spatiales pour clarifier ce sujet mal connu, et dont les implications sont parfois négligemment ignorées. Les billets seront mes notes dans ma recherche exploratoire de cette thématique.

Tout d'abord, qu'est-ce que l'interpolation spatiale ? C'est le processus d'estimation d'une valeur à une localisation (x,y) à partir de valeur placées à d'autres localisations (x1,y1)...(xn,yn).Cette estimation est réalisée par différentes méthodes, qui dépendent chacune de l'objectif visé ainsi que les données disponibles.

• L'approche déterministe, sur des variables régionalisées - repérées dans l'espace par leurs coordonnées  (x,y). Elle regroupe les méthodes d’interpolation dont la fonction de structure (fonction de pondération) est choisie à priori. Elles ne fournissent pas d ‘informations sur la variance d’estimation.
  - Méthode de Shephard, barycentriques (Plus Proches Voisins, IDW)
  - Méthode de partitionnement de l'espace comme la Triangulation  (Voronoï)
  - Méthode de type spline laplaciennes
  - Méthode de tendance de surface (Surface Trend)
  En règle générale, les résultats de ces algorithmes d’interpolation sont issus d’une règle de pondération calculée sur la base des valeurs observées aux sites de mesure voisins du nœud le plus proche. Ils ne prennent pas en compte les caractéristiques spatiales naturelles des échantillons. Chacun de ces algorithmes utilise des techniques différentes de pondération entre les variables à cartographier et aboutissent de ce fait à des résultats différents.

• Les interpolations spatiales stochastiques (sur des variables aléatoires)
  - Technique de régression classique
  - Technique de régression locale
  - Technique de krigeage
   
• Les algorithmes d'interpolation géostatistiques comme le krigeage intègrent une règle de pondération directement déduite du comportement spatial de la donnée. Il permet en outre d’intégrer dans l’interpolation les effets de variables auxiliaires. Ils prennent en compte la structure spatiale du phénomène et variance d'estimation
  
  Intérêt : Peu de contrainte sur le plan d'échantillonnage ni sur l'indépendance des données
  Méthode : Approche géostatistique = Analyse de la structure spatiale + Krigeage
  
  
• Réseaux neuronaux : à développer
  

Choisir

La performance des différentes méthodes varie sur le caractère de la variation modélisée et les caractéristiques spécifiques de la donnée modélisée comme la densité de l'échantillonnage, sa distribution, etc

(Briggs 1997). Le choix de la méthode dépend de l'influence que peuvent avoir les points distants sur le calcul des valeurs inconnues.

Validation

Il est possible d'utiliser des techniques de validation pour choisir la bonne méthode. Par exemple, on divise les points en deux échantillons dont un échantillon sert pour le calcul et pour développer le modèle et l'autre pour le contrôle et pour tester la précision du calcul.

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